Question

【题目】已知函数.

（1）求的极值；

（2）证明：时，

（3）若函数有且只有三个不同的零点，分别记为，设且的最大值是，证明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）先求导数，再根据讨论导函数零点情况，最后根据导函数零点以及导函数符号变化规律确定极值，（Ⅱ）作差函数，先利用导数研究导函数单调性，确定导函数零点，再根据导函数符号确定函数最小值，最后根据基本不等式证得结论，（Ⅲ）先利用导数研究有两个零点时，其两个零点对应区间，再令，根据条件用表示，利用导数求其最大值，即得结论.

（Ⅰ）函数的定义域为.

由已知可得．

（1）当时，，故在区间上单调递增； 无极值.

（2）当时，由，解得；由，解得．所以函数在上单调递增，在上单调递减. 的极大值为，无极小值.

（Ⅱ）证明：令，故只需证明.

因为

所以函数在上为增函数，且，．

故在上有唯一实数根，且．

当时，，当时，,

从而当时，取得最小值．

由，得，即，

故 ，

因为，所以等于号取不到，即

综上，当时， 即．

（Ⅲ）∵ 函数有且只有三个不同的零点，而是其零点，

∴ 函数存在两个零点（不等于），即有两个不等且不等于的实数根．

可转化为方程在区间上有两个不等且不等于的实数根，

即函数的图象与函数的图象有两个交点.

∵，

∴ 由，解得，故在上单调递增；

由，解得，故在上单调递减；

故函数的图象与的图象的交点分别在，上，

即的两个根分别在区间，上，

∴的三个不同的零点分别是，且.

令，则．

由，解得故， ．-令，则．

令，则．

所以在区间上单调递增，即．

所以，即在区间上单调递增，

即，

所以，即，