Question

已知函数f(x)=3^x，其反函数为f^-1(x)，且f^-1(18)=a+2,g(x)=3^ax-4^x的定义域为［0，1］.

（1）求g(x)的解析式；

（2）判断g(x)的单调性；

（3）求g(x)的值域.

Answer 1

解：（1）∵f(x)=3^x,

∴f^-1(x)=log₃x.

又∵f^-1(18)=a+2,

即log₃18=2+log₃2=a+2,

∴a=log₃2.

则g(x)=-4^x=2^x-4^x.

（2）∵g(x)=2^x-4^x=2^x-(2^x)²=-(2^x-)²+,

又x∈［0,1］，即1≤2^x≤2，

∴令u=2^x,g(x)=φ(u)=-(u-)²+.

当0≤x≤1时，1≤u≤2，φ(u)为减函数，

而u=2^x为增函数，

因此，g(x)在［0，1］上为减函数.

（3）∵g(x)=-(2^x-)²+,x∈［0,1］为减函数，

∴当x=0时，g(x)_max=0；

当x=1时,g(x)_min=-2.

故g(x)的值域为［-2，0］.