Question

【题目】如图，两条相交线段、的四个端点都在椭圆上，其中直线的方程为，直线的方程为.

（1）若，，求的值；

（2）探究：是否存在常数，当变化时，恒有？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，见解析

【解析】

（1）当时，联立方程组求得，根据，利用，列出方程，即可求解；

（2）设，由，得，利用韦达定理，结合椭圆的对称性，分类讨论，即可得到结论.

（1）由题意，当时，联立方程组，解得，

因为，所以，

设，则，化简得，

又由，联立方程组，解得或.

因为平分，所以（不适合题意），所以.

（2）设，

由，整理得，

其中，

若存在常数，当变化时，恒有，

则由（1）可知只可能是，

①当时，取，等价于，

即，

即，

即，此式子恒成立，

所以存在常数，当变化时，恒有；

②当时，取，由椭圆的对称性，同理可知结论也成立，

综上可得，存在常数，当变化时，恒有；