Question

【题目】已知椭圆:的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足

（1）求椭圆的方程；

（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(1)首先可以通过抛物线与椭圆有相同的焦点得出椭圆的焦点坐标，然后通过列出等式并解出的值，最后带入抛物线方程中即可得出结果；

(2)首先可以设出切点坐标并写出切线方程，然后将切线方程与椭圆方程联立，设两点坐标为并根据切线方程与椭圆交于两点并求出的值，然后根据的值写出的中点坐标以及的垂直平分线方程，最后写出并得出结果．

(1)因为抛物线与椭圆有相同的焦点，

所以椭圆的焦点，，

设点P的坐标为则，解得（舍去），

将点坐标代入抛物线方程式可得，又，

联立可解得，所以椭圆的方程为；

(2)设与抛物线相切的切点坐标为，

将抛物线转化为可知，即切线斜率为，

通过点斜式方程可知直线，

整理得直线，与轴交点坐标

与椭圆方程联立可得，

设，所以，的中点坐标为，

所以的垂直平分线方程为，

即，

因为所以，当且仅当时“”号，此时取最小值，最小值为．