Question

【题目】已知椭圆 的右焦点为F（1，0），且点 在椭圆C上，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，得c=1，

所以a2=b2+1．

因为点 在椭圆C上，

所以 ，可解得a2=4，b2=3．

则椭圆C的标准方程为 ．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得（4k2+3）x2+16kx+4=0．

因为△=48（4k2﹣1）＞0，所以 ，

由根与系数的关系，得 ．

因为∠AOB为锐角，所以 ，即x1x2+y1y2＞0．

所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，

即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0，

所以 ．

综上 ，

解得 或 ．

所以，所求直线的斜率的取值范围为 或

【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出c=1，得到a2=b2+1．通过点 在椭圆C上，得到 ，可解椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，点A（x1，y1），B（x2，y2），通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及x1x2+y1y2＞0．判别式的符号，求解k的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．