Question

【题目】已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=cx在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（ ，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】解∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1．

即p：0＜c＜1，

∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．

又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（ ，+∞）上为增函数，∴c≤ ．

即q：0＜c≤ ，

∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞ 且c≠1．

又∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假，或p假q真．

①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞ ，且c≠1}={c| }．

②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c }=．

综上所述，实数c的取值范围是{c| }

【解析】由函数y=cx在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x2﹣2cx+1在（ ，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤ ，￢q：c＞ 且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了复合命题的真假的相关知识点，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真才能正确解答此题．