Question

【题目】已知定义在[﹣ ， ]的函数f（x）=sinx（cosx+1）﹣ax，若y=f（x）仅有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（ ，2]
B.（﹣∞， ）∪[2，+∞）
C.[﹣ ， ）
D.（﹣∞，﹣ ]∪（ ，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令g（x）=sinx（cosx+1），
则g′（x）=（2cosx﹣1）（cosx+1），
当x∈[﹣ ，﹣ ）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
当x∈（﹣ ， ）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，
当x∈（ ， ]时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，
故g（x）=sinx（cosx+1）的图象如下图所示：

当x=± 时，g（x）=±1，此时a= ，
当x=0时，g′（x）=2，
若y=f（x）仅有一个零点，
则函数g（x）=sinx（cosx+1）的图象与y=ax的图象有且仅有一个交点，
由图可得：a∈（﹣∞， ）∪[2，+∞），
故选：B
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．