Question

已知椭圆：（）的离心率，左、右焦点分别为、，点满足：在线段的中垂线上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为（）的直线与轴、椭圆顺次相交于点、、，且，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：椭圆的离心率，

得，其中

椭圆的左、右焦点分别为、 ，

又点在线段的中垂线上，， 

解得，   

椭圆的方程为 ．   

解法二：椭圆的离心率，得，其中

椭圆的左、右焦点分别为、 ，

设线段的中点为，，，

又线段的中垂线过点，，        

即， 

椭圆方程为         

（Ⅱ）由题意，直线的方程为，且，  

联立，得，

由，得,且        

设，则有，  （）

，且由题意 ，

     ， 又            

，即，

，整理得，

将（）代入得，，   

知上式恒成立，故直线的斜率的取值范围是．