Question

【题目】给出下列命题：
①直线l的方向向量为 =（1，﹣1，2），直线m的方向向量 =（2，1，﹣ ），则l与m垂直；
②直线l的方向向量 =（0，1，﹣1），平面α的法向量 =（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为 =（0，1，3）， =（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量 =（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是 ． （把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：对于①，∵ =（1，﹣1，2）， =（2，1，﹣ ），∴ =1×2﹣1×1+2×（﹣ ）=0，
∴ ⊥ ，
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②， =（0，1，﹣1）， =（1，﹣1，﹣1），
∴ =0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，
∴ ⊥ ，∴l∥α或lα，②错误；
对于③，∵ =（0，1，3）， =（1，0，2），
∴ 与 不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），
∴ =（﹣1，1，1）， =（﹣1，1，0），
向量 =（1，u，t）是平面α的法向量，
∴ ，
即 ；
则u+t=1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．
所以答案是：①④．
【考点精析】关于本题考查的平面的法向量，需要了解若向量所在直线垂直于平面，则称这向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量才能得出正确答案．