Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3，…）；数列{b_n}中，b₁=1 点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n和为T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，得到a_n与a_n-1，即可得到数列{a_n}是等比数列．由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，可得b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，即可得出b_n．
（2）由（1）可得：a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ．利用“错位相减法”即可得出T_n．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），
化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an=2n．
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2上，∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，
∴数列{b_n}是以b₁=1为首项，2为公差的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由（1）可得：a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴Tn=1×2+3×22+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-Tn=1×2+2×22+2×23+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2×（2+2²+…+2ⁿ）-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2×

2(2n-1)

2-1

-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺²-6-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．

点评：数列掌握等差数列、等比数列的定义与通项公式、前n项和公式、“错位相减法”等是解题的关键．