【题目】设函数,().
(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数am的值;
(2)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论;
(3)若对任意恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】(1),.(2)不可能有三个不同的实根,证明见解析. (3)
【解析】
(1)求导根据导数等于斜率,过点计算得到答案.
(2)讨论,得到在至多1个实根,得到答案.
(3)不等式等价于,令,则,根据单调性得到答案.
(1),则,故,,
解得,.
(2)不可能有三个不同的实根,证明如下:
令,
如果有三个不同的实根,则至少要有三个单调区间,
则至少两个不等实根,所以只要证明在至多1个实根,
,,
1°当时,,,∴,∴在单调递增,∴在至多1个实根;
2°当时,,∴在单调递增,
∴,又因为时,∴,
∴在没有实根
综合1°2°可知,在至多1个实根,所以得证.
(3)∵对任意恒成立,且,
∴对任意恒成立,
∴对任意恒成立,
令,
则对任意恒成立,
∵时,且,,
∴在单调递增∴在恒成立,
∴.
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【题目】已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.
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【题目】由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下:
5860 6520 7326 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 6460 6830 9860 8753 9450 9860 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表(设步数为)
组别 | 步数分组 | 频数 |
2 | ||
10 | ||
2 | ||
(Ⅰ)写出的值,并回答这20名“微信运动”团队成员一天行走步数的中位数落在哪个组别;
(Ⅱ)记组步数数据的平均数与方差分别为,,组步数数据的平均数与方差分别为,,试分别比较与以,与的大小;(只需写出结论)
(Ⅲ)从上述两个组别的数据中任取2个数据,记这2个数据步数差的绝对值为,求的分布列和数学期望.
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【题目】若无穷数列满足:,且对任意,(s,k,l,)都有,则称数列为“T”数列.
(1)证明:正项无穷等差数列是“T”数列;
(2)记正项等比数列的前n项之和为,若数列是“T”数列,求数列公比的取值范围;
(3)若数列是“T”数列,且数列的前n项之和满足,求证:数列是等差数列.
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【题目】如图所示,空间几何体中,四边形是梯形,四边形是矩形,且平面平面, , , 是线段上的动点.
(1)求证: ;
(2)试确定点的位置,使平面,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,求空间几何体的体积.
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【题目】(本小题满分12分)已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知点,延长交抛物线于点,证明:以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.
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【题目】设数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足:
对于任意,都有成立.
①求数列的通项公式;
②设数列,问:数列中是否存在三项,使得它们构成等差数列?若存在,求出这三项;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知等腰梯形中(如图1),,,为线段的中点,、为线段上的点,,现将四边形沿折起(如图2)
(1)求证:平面;
(2)在图2中,若,求直线与平面所成角的正弦值.
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