Question

【题目】设数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足：

对于任意，都有成立.

①求数列的通项公式；

②设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)，.(2)①，.②见解析.

【解析】分析：（1）当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列的通项公式.；

（2）①将代入已知条件，用与（1）相似的方法，变换求出数列的通项公式；

②由的通项公式分析，得…，假设存在三项，，成等差数列，且，则，即，根据数列的单调性，化简得，将或代入已知条件，即可得到结论.

详解：解：（1）由， ①

得， ②

由①-②得，即，

对①取得，，所以，所以为常数，

所以为等比数列，首项为1，公比为，即，.

（2）①由，可得对于任意有

， ③

则， ④

则， ⑤

由③-⑤得，

对③取得，也适合上式，

因此，.

②由（1）（2）可知，

则，

所以当时，，即，

当时，，即在且上单调递减，

故…，

假设存在三项，，成等差数列，其中，，，

由于…，可不妨设，则（*），

即，

因为，，且，则且，

由数列的单调性可知，，即，

因为，所以，

即，化简得，

又且，所以或，

当时，，即，由时，，此时，，不构成等差数列，不合题意，

当时，由题意或，即，又，代入（*）式得，

因为数列在且上单调递减，且，，所以，

综上所述，数列中存在三项，，或，，构成等差数列.