Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

6

3

，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，且

MF

=λ

FN

(λ＞0)，定点A（-4，0）．
（1）若λ=1时，有

AM

•

AN

=

106

3

，求椭圆C的方程；
（2）在条件（1）所确定的椭圆C下，当动直线MN斜率为k，且设s=1+3k²时，试求

AM

•

AN

tan∠MAN关于S的函数表达式f（s）的最大值，以及此时M，N两点所在的直线方程．

Answer 1

分析：（1）欲求椭圆C的方程，先根据条件λ=1且

MF

=λ

FN

(λ＞0)求出M点的坐标，再根据条件

AM

•

AN

=

106

3

求出c的值．
最后根据离心率为

6

3

分别求出a与b的值．
（2）欲求

AM

•

AN

tan∠MAN关于S的函数表达式f（s）的最大值，先联系直线方程与椭圆的方程求

AM

•

AN

tan∠MAN=2S△AMN=|AF|•|y1-y2|的表达式，根据函数最值的相关知识求出最大值，最后求得直线MN的方程．

解答：解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0），
则

MF

=(c-x1，-y1)，

FN

=(x2-c，y2)，
又λ=1，有

MF

=

FN

．
故

c-x1=x2-c -y1=y2

?

x1+x2=2c y 2 1 = y 2 2

，
又

x

2 1

=a2(1-

y 2 1

b2

)，

x

2 2

=a2(1-

y 2 2

b2

)，
所以x₁²=x₂²，结合x₁+x₂=2c≠0，可知x₁=x₂=c．
所以M(c，

b2

a

)，N(c，-

b2

a

)，
从而

AM

•

AN

=(c+4)2-

b4

a2

=

106

3

，将

c

a

=

6

3

代入得c=2．
故椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）

AM

•

AN

tan∠MAN=2S△AMN=|AF|•|y1-y2|．
设直线MN的直线方程为y=k（x-2）（k≠0），联立

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-2)

，得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，
所以|y1-y2|=

24k4+24k2

1+3k2

，
记t=

24k4+24k2

1+3k2

，S=1+3k2，
则t=

24 ( S-1 3 )2+ S-1 3

S

=

2 6

3

1+ 1 S - 2 S2

，
所以t≤

3

，当S=4即k=±1时取等号．
所以，

AM

•

AN

tan∠MAN有最大值，最大值为6

3

，此时直线MN的方程为x±y-2=0．

点评：本题考查平面向量的相关知识以及直线与圆锥曲线的知识．