Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为8与 .

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设直线交椭圆于两点，且，求证：到直线的距离为定值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)利用四边形的周长和椭圆的定义得到，再利用四边形的面积公式和点在椭圆上求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积为0进行求解.

试题解析：(Ⅰ)不妨设点是第一象限的点，依题可得.

∵.

∵.

∵点在椭圆上，，解得，或（舍）,

∴椭圆的标准方程为.

(Ⅱ)当直线斜率存在时，设直线的方程为,

由消去得,

设则,

∵,

即,即,

到直线的距离为.

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为.

由椭圆的对称性易知到直线的距离为.

到直线的距离为定值.