Question

【题目】已知函数f（x）在定义域R上的导函数为f′（x），若方程f'（x）=0无解，且f[f（x）﹣2017x]=2017，当g（x）=sinx﹣cosx﹣kx在[﹣ ， ]上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，﹣1]
B.（﹣∞， ]
C.[﹣1， ]
D.[ ，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：若方程f'（x）=0无解， 则 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，
x∈R都有f[f（x）﹣2017x]=2017，
则f（x）﹣2017x为定值，
设t=f（x）﹣2017x ， 则f（x）=t+2017x ， 易知f（x）为R上的增函数，
∵g（x）=sinx﹣cosx﹣kx，
∴ ，
又g（x）与f（x）的单调性相同，
∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[﹣ ， ]，g'（x）≥0恒成立，
当 时， ， ，
，
此时k≤﹣1，
故选A．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．