Question

【题目】当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.[﹣5，﹣3]
B.[﹣6，﹣ ]
C.[﹣6，﹣2]
D.[﹣4，﹣3]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立； 当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥ ，
令f（x）= ，则f′（x）= =﹣ （*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤ ，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故选：C．
分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．