Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，(为参数)，直线的普通方程为，设与的交点为，当变化时，记点的轨迹为曲线. 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的方程为.

（1）求曲线的普通方程；

（2）设点在上，点在上，若直线与的夹角为，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）将直线的参数方程转化为普通方程，联立的方程并消去，再根据直线斜率存在且不为零，即可得到曲线的普通方程；

（2）先求出直线的普通方程，点到直线的距离为，由题意可得，求出到直线的距离的最大值，即可求出的最大值.

（1）直线可化为：，代入，

消去可得：，

整理得：；

由直线斜率存在且不为零，则，

曲线的普通方程为：.

（2）由，得，

所以直线的普通方程为：，

设点到直线的距离为，

由与的夹角为，可得，

求的最大值可转化为点到直线的距离的最大值，

的最大值即圆心到直线的距离加上半径，

所以，

即.