Question

【题目】已知函数，为自然对数的底数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，极大值，当时，极小值；（2）证明见解析.

【解析】

（1）首先求出导函数，将代入，求出的正负，从而确定函数的单调区间，再根据极值的定义即可求解.

（2）由（1）知，当，时，可得，即，构造，利用导数可得函数在上单调递增，即，证出，进而证出不等式.

（1）因为，

所以当时，，

因为当时，；

当时，；

当时，；

所以函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以当时，函数有极大值，

当时，函数有极小值.

（2）由（1）知，当，时，

函数在时取得极小值，即最小值，

所以，化简可得，

令，则，

所以函数在上单调递增，

所以，所以，

从而可得，

因为不等式的两个等号不同时成立，所以.