Question

【题目】某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=（1+ ）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．

（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；
（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S△OAC最小，并求出其面积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：结合图形可知，S△BOC+S△AOB=S△AOC．

于是， x（1+ ）sin30°+ y（1+ ）sin45°= xysin75°，

解得：y= ，（其中3≤x≤6）

（2）

解：由（1）知，y= （3≤x≤6），

因此，S△AOC= xysin75°

=

= [（x﹣2）+ +4]

≥2+2 （当且仅当x﹣2= ，即x=4时，等号成立）．

∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S△OAC最小，最小面积是（2+2 ）×104平方米．

【解析】（1）由图形知，S△BOC+S△AOB=S△AOC ， 代入面积公式，求出函数y的解析式；（2）由（1）知，函数y的解析式，求出S△AOC的表达式，利用基本不等式求出S△OAC最小时，x的取值以及最小面积是什么．