Question

已知点F是双曲线C：x²-y²=2的左焦点，直线l与双曲线C交于A、B两点，
（1）若直线l过点P（1，2），且

OA

+

OB

=2

OP

，求直线l的方程．
（2）若直线l过点F且与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，设

FB

=λ

FA

，当λ∈[6，+∞）时，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由A、B两点在双曲线上，代入双曲线方程，利用点差法，结合

OA

+

OB

=2

OP

，可求直线l的斜率，进而可求方程．
（2）根据

FB

=λ

FA

，可得坐标关系，将直线方程代入双曲线方程，从而可得关于λ的函数，从而可求直线l的斜率k的取值范围．

解答：解：设A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），
（1）由A、B两点在双曲线上，得

x 2 1 - y 2 1 =2 x 2 2 - y 2 2 =2

作差：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）即

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

y1+y2

，
由

OA

+

OB

=2

OP

，知

x1+x2=2 y1+y2=4

则直线l的斜率k=

1

2

，直线l的方程为y-2=

1

2

(x-1)即x-2y+3=0
易知直线l与双曲线有两个交点，方程x-2y+3=0即为所求，
（2）F（-2，0），由

FB

=λ

FA

，得

x2+2=λ(x1+2) y2=λy1

设直线l：y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2-y2=2

，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²）y1+y2=

4k

1-k2

，y1y2=

2k2

1-k2

．
由y₂=λy₁，y1+y2=

4k

1-k2

，y1y2=

2k2

1-k2

，消去y₁，y₂，
得

8

1-k2

=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2．
∵λ≥6，函数g(λ)=λ+

1

λ

+2在（1，+∞）上单调递增，
∴

8

1-k2

≥6+

1

6

+2=

49

6

，∴k2≥

1

49

．
又直线l与双曲线的两支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0两根同号，
∴k²＜1．
∴

1

49

≤k2＜1，故k∈(-1，-

1

7

]∪[

1

7

，1)．

点评：本题以双曲线为载体，考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，关键是设点代入作差．