Question

【题目】将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：

方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；

方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为，根据矩形薄铁皮的面积为100，即可求得的值；（2）设所得正四棱柱的底面边长为 ，根据题意得.方法一：表示出正四棱柱的体积，构造函数，求得单调性，即可求得函数的最大值，从而得体积最大值及的值；方法二：表示出的范围，从而得到的范围，再表示出正四棱柱的体积，即可求得最大值及的值.

试题解析：（1）设所得圆柱的半径为，则，

解得．

（2）设所得正四棱柱的底面边长为dm，则即

方法一：

所得正四棱柱的体积

记函数则在上单调递增，在上单调递减.

∴当时， ．

∴当， 时， dm3．

方法二：

，从而．

所得正四棱柱的体积．

∴当， 时， dm3．

答：（1）圆柱的底面半径为dm；

（2）当为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．