Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC,点D是AB的中点．

(1)求证：BC₁∥平面CA₁D；
(2)求证：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB₁= ，求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

解析试题分析：（1）由直线和平面平行的判定定理知，要证明面，只需在面内找一条直线平行于即可，连接交于点，连接，由三角形中位线定理，得，进而证明面；（2）由面面垂直的判定定理，只需在一个平面内找另一个平面的一条垂线即可，由已知得
面，故平面平面；（3）求四面体体积，关键在于利用等体积转化法，选择合适的底面便于求高，∵，依题意，高为，再求底面的面积，进而求三棱锥的体积.
试题解析：（1）连接交于点，连接，因为四边形是矩形，则为的中点，又是的中点，，又面，面，面．
（2），是的中点，，又面， 面，，
，面，面， 平面平面.
（3）解： ,则（2）知CD⊥面ABB₁B， 所以高就是CD= ，BD=1，BB₁=，所以A₁D=B₁D=A₁B₁=2,  , ．
考点：1、直线和平面平行的判定定理；2、面面垂直的判定定理；3、三棱锥的体积.