Question

【题目】设椭圆的左顶点为，右顶点为．已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线斜率大于，求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用直线被圆截得弦长为构造关于的方程，求得，再根据离心率和之间关系求得，从而得到椭圆方程；（Ⅱ）假设，则，表示出直线和直线，求解出点坐标，从而利用直线斜率大于，求得；又为椭圆上的点且在第一象限，可知，从而可得；将表示为关于的函数，利用函数求值域的方法求解出的取值范围.

（Ⅰ）以线段为直径的圆的圆心为：，半径

圆心到直线的距离

直线被圆截得的弦长为

解得：，又椭圆离心率

，

椭圆的标准方程为：

（Ⅱ）设，其中，，则

，

则直线为：；直线为：

由得：

令，，则

即