Question

【题目】如图，在四棱锥中，为等边三角形，

（1）若点分别是线段的中点，求证：平面平面；

（2）若二面角为直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一和已知的角度和边长关系可证得，从而可知；在利用三角形中位线可证得；根据线面平行判定定理和面面平行判定定理可证得结论；（2）设交于点，利用面面垂直的性质定理可证得平面，从而可建立起空间直角坐标系；利用线面角的向量求法可求得结果.

（1）为等边三角形，且是线段的中点

，

平面，平面 平面

点分别是线段的中点

平面，平面 平面

平面平面

（2）设交于点，连接

由对称性知，为的中点，且，

二面角为直二面角 平面

不妨设，则，，/p>

以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系

则，，，

，，

设平面的法向量为

则，即：

令，得，

直线与平面所成角的正弦值为