Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，设直线与轴的交点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点.

（1）若直线的倾斜角为，求的值；

（2）设直线交直线于点，证明：直线.

Answer 1

【答案】（1）;（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）设，根据图形可知，直线的方程为，代入椭圆方程得到根与系数的关系，，这样可求得三角形的面积；（2）设直线的方程为与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，再根据三点共线，那么,得到坐标间的关系，若，即说明.

试题解析：由题意，知，．．．．．．．．．1分

（1）∵直线的倾斜角为，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∴直线的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

代入椭圆方程，可得．

设．∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴．．．．．．．．．．．．6分

（2）设直线的方程为．

代入椭圆方程，得．

设，则．．．．．．．．．．．．．．．8分

设，∵三点共线，

∴有，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

而

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

∴直线轴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分