Question

已知数列{a_n}的前n项和为，数列{b_n}满足：，前n项和为T_n，设C_n=T_2n+1-T_n．　
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）是否存在自然数k，当n≥k时，总有成立，若存在，求自然数k的最小值．若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）a₁=2，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1
∴
（2）C_n=T_2n+1-T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
∵
∴数列{C_n}是单调递减数列．
由（2）知：C_n＜C_n-1＜…＜C₃＜C₂＜C₁
当n=1时，
当n=2时，
当n=3时，
当n≥3时，
故，k_min=3．
分析：（1）由数列{a_n}的前n项和公式S_n=n²+1，先求出a_n，再由b_n=，求数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=++…+，知c_n+1-c_n=+-＜0，所以{c_n}是递减数列，从而得出存在自然数k，当n≥k时，总有成立．
点评：本题考查数列与不等式的综合、数列的求和，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细求解．