Question

我们常用定义解决与圆锥曲线有关的问题．如“设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁作倾斜角为θ的弦AB，设|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，试证

1

r1

+

1

r2

为定值”．
证明如下：不妨设A在x轴的上方，在△ABC中，由椭圆的定义及余弦定理得，（2a-r₁）²=r₁²+4c²-4cr₁cosθ，∴r1=

b2

a-ccosθ

，
同理r2=

b2

a-ccos(π-θ)

=

b2

a+ccosθ

，于是

1

r

1+

1

r

2=

2a

b2

．请用类似的方法探索：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁作倾斜角为θ的直线与双曲线右支交于点A，左支交于点B，设|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，是否有类似的结论成立，请写出与定值有关的结论是______．．

Answer 1

由题意，根据椭圆的定义与双曲线的定义类比得“设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁作倾斜角为θ的直线与双曲线右支交于点A，左支交于点B，设|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，试证

1

r

1-

1

r

2为定值”，证明如下：
不妨设A在x轴的上方，令在△ABC中，由双曲线的定义及余弦定理得，（2a+r₁）²=r₁²+4c²+4cr₁cosθ，
∴r1=

b2

a+ccosθ

，
同理r2=

b2

a+ccos(π-θ)

=

b2

a+ccosθ

，
于是

1

r

1-

1

r

2=-

2a

b2

．
故答案为

1

r

1-

1

r

2=-

2a

b2

．