Question

【题目】已知函数，．

（）若函数的最小值为，求的值．

（）证明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）由题意得，的最小值问题，需要借助于导数，对比极值与端点值确定，而由最值也可确定出未知量；（2）借助第一问，将问题转化成最常见的形式：.

试题解析：（1）的定义域为，且.若，则，于是在上单调递增，故无最小值，不合题意，若，则当时，;当时，.故在上单调递减，在上单调递增.于是当时，取得最小值.由已知得, 解得.综上，.

（2）①下面先证当时，.因为, 所以只要证.由（1）可知, 于是只要证，即只要证, 令，则,当时，, 所以在单调递增，所以当时，，即，故当时，不等式成立 .② 当时，由（1）知, 于是有，即,所以, 即,又因为, 所以,所以

,综上，不等式

成立.