【题目】如图,在四棱锥中,,,,且,.
(1)证明:平面;
(2)在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见证明 (2)见解析
【解析】
(1)推导出AB⊥AC,AP⊥AC,AB⊥PC,从而AB⊥平面PAC,进而PA⊥AB,由此能证明PA⊥平面ABCD;
(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出在线段PD上,存在一点M,使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°,4﹣2.
(1)∵在底面中,,
且
∴,∴
又∵,,平面,平面
∴平面 又∵平面 ∴
∵, ∴
又∵,,平面,平面
∴平面
(2)方法一:在线段上取点,使 则
又由(1)得平面 ∴平面
又∵平面 ∴ 作于
又∵,平面,平面
∴平面 又∵平面 ∴
又∵ ∴是二面角的一个平面角
设 则,
这样,二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点存在,且
方法二:取的中点,则、、三条直线两两垂直
∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系
且由(1)知是平面的一个法向量
设 则,
∴,
设是平面的一个法向量
则 ∴
令,则,它背向二面角
又∵平面的法向量,它指向二面角
这样,二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点存在,且
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【题目】设椭圆的左焦点为,离心率为,为圆的圆心.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.
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【题目】已知偶函数满足,现给出下列命题:①函数是以2为周期的周期函数;②函数是以4为周期的周期函数;③函数为奇函数;④函数为偶函数,则其中真命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.已知满足 .且,则用以上给出的公式可求得的面积为____.
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【题目】已知抛物线的焦点为,为抛物线上一点,为坐标原点.的外接圆与抛物线的准线相切,外接圆的周长为.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知不与轴垂直的动直线与抛物线有且只有一个公共点,且分别交抛物线的准线和直线于、两点,试求的值.
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【题目】为迎接年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核. 记表示学生的考核成绩,并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:
5 | 0 | 1 | 1 | 6 | ||||
6 | 0 | 1 | 4 | 3 | 3 | 5 | 8 | |
7 | 2 | 3 | 7 | 6 | 8 | 7 | 1 | 7 |
8 | 1 | 1 | 4 | 5 | 2 | 9 | ||
9 | 0 | 2 | 1 | 3 | 0 |
(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核成绩为优秀的概率;
(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取人,求至少有一人考核优秀的概率;
(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间内的概率,根据以往培训数据,规定当时培训有效. 请你根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.
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【题目】某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B,及CD的中点P处,已知km,,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm.
(I)按下列要求写出函数关系式:
①设,将表示成的函数关系式;
②设,将表示成的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短.
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