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选修4-5:不等式选讲
设x,y,z∈(0,+∞),且x+y+z=1,求
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值.
分析:利用题中条件:“x+y+z=1”构造柯西不等式(x+y+z)(
1
x
+
4
y
+
9
z
)≥(1+2+3)2这个条件进行计算即可.
解答:解:由x+y+z=1可知
1
x
+
4
y
+
9
z
=(x+y+z)(
1
x
+
4
y
+
9
z
).
由柯西不等式得(x+y+z)(
1
x
+
4
y
+
9
z
)≥(1+2+3)2=36.
当且仅当
x
1
=
y
2
=
z
3
,即x=
1
6
,y=
1
3
,z=
1
2
时,等号成立.
所以,
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值为36.
点评:本题考查用综合法证明不等式,关键是利用(x+y+z)(
1
x
+
4
y
+
9
z
)≥(1+2+3)2
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

【选修4-5:不等式选讲】
求下列不等式的解集
(Ⅰ)|2x-1|-|x+3|>0
(Ⅱ)x+|2x-1|>3.

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科目:高中数学 来源: 题型:

选修4-5:不等式选讲:
设正有理数x是
2
的一个近似值,令y=1+
1
1+x

(Ⅰ)若x>
2
,求证:y<
2

(Ⅱ)比较y与x哪一个更接近于
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

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(I)求证f(x)≥1;
(II)若f(x)=
a2+2
a2+1
成立,求x的取值范围.

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