Question

已知函数f（x）=lnx﹣a²x²+ax（a≥0）．
（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x²+x，其定义域是（0，+∞） ∴      
令f′（x）=0，即 =0，解得 或x=1．
∵x＞0， ∴ 舍去．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1﹣12+1=0．
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
∴函数f（x）只有一个零点．          
（2）显然函数f（x）=lnx﹣a²x²+ax的定义域为是（0，+∞） ∴ = 
1当a=0时， ，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意   
2 当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）≥0（x＞0），即 
此时f（x）的单调递减区间为[ ，+∞）．
依题意，得 ，解之得a≥1．  
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）
法二： ①当a=0时， ，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意
②当a≠0时，要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，
只需f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立，
∵x＞0，∴只要2a²x²﹣ax﹣1≥0，且a＞0时恒成立，
∴ 解得a≥1
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）