Question

【题目】已知集合…，…，，对于…，，B＝（…，，定义A与B的差为

…，A与B之间的距离为.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）证明：对任意，有

（i），且；

（ii）三个数中至少有一个是偶数；

（Ⅲ）对于……，再定义一种A与B之间的运算，并写出两条该运算满足的性质（不需证明）.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】分析：（Ⅰ）因为，所以；（Ⅱ）（i）设………，因为，故，…，n），分两种情况讨论即可的结果；（ii）设…，…，…，记

记…，由（i）可知，，，

即…，先推导出不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数，从而可得结论；（Ⅲ）定义＝，…，则.

详解：（Ⅰ）因为，所以.

（Ⅱ）（i）设………，

因为，故，…，n），

即….

又…，n.

当时，有；

当时，有；

故

（ii）设…，…，…，

记

记…，由（i）可知：

，

，

，

即中1的个数为k，中1的个数为，…

设t是使成立的i的个数，则有，

由此可知，不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数.

（Ⅲ）如可定义A·B＝，…，则A·B＝B·A，（A·B）·C＝A·（B·C）.