Question

【题目】已知函数{an}：a1=t，n2Sn+1=n2（Sn+an）+an2 ， n=1，2，…．
（1）设{an}为等差数列，且前两项和S2=3，求t的值；
（2）若t= ，证明： ≤an＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列公差为d，则2t+d=3，

又 ，

得a1=1或a1=﹣3，

但当a1=﹣3时，d=9，无法使 恒成立，

∴t=1．

（2）解：先证an＜1．

易知an＞0， ，故{an}为递增数列，

从而 ，

∴ 有 ，

由叠加法有 （n≥2），

注意到 （k≥2），

∴ ， =

从而 ，即an＜1（n≥2），

又 ，有an＜1（n∈N*）成立．

再证 ，

当n=1时， 成立，

由an＜1， ，

从而 =

∴ ，即有 ，

叠加有 （n≥2），

又 ，

从而 =

∴ ，即有 （n≥2），

综上 （n∈N*）．

【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）先证an＜1．易知an＞0，且{an}为递增数列，利用递推关系可得： ，利用“累加求和”方法即可证明．再证 ，当n=1时， 成立，由an＜1，可得： ，利用“累加求和”方法即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等差数列的通项公式（及其变式）(通项公式：或)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．