某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）t万件与年促销费用x万元（x≥a，a为一个正常数）满足t=3-

x+1

，已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定和再投入两部分资金）．
（1）将2011年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（注：利润=销售收入-总成本）
（2）该厂家2011年投入的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？

分析：（1）每件产品的成本为8+16t+x元，且t=3-

x+1

，则利润函数y=t(1.5×

8+16t

)-(8+16t+x)整理即可；
（2）先求函数导函数，然后根据导数符号研究函数的单调性，从而求出函数最值时a的值．

解答：解：（1）∵t=3-

x+1

．
每件产品的销售价格为1.5×

8+16t

（元），----------（1分）
∴2011年的利润y=t(1.5×

8+16t

)-(8+16t+x)----------（3分）
=4+8t-x=4+8(3-

x+1

)-x
即y=28-

x+1

-x(x≥a)----------（5分）（定义域占1分）
（2）∵y/=

(x+1)2

-1----------（2分）
由y'=0解得x=3（舍去-5）-----------（3分）
令y′＞0得0＜x＜3∴x∈（0，3）时，y为增函数，-------（4分）
令y′＜0得x＞3，x∈（3，+∞）时，y为减函数-----------（5分）
∴当a＞3时，y在[a，+∞）上为减函数，x=a时，y最大----------（6分）
当a≤3时，y在[a，3）上为增函数，在[3，+∞）上为减函数，x=3时，y最大---------（8分）
综上所述，当a＞3时，该厂家2011年投入的促销费用a万元时，厂家的利润最大，
当a≤3时，该厂家2011年投入的促销费用3万元时，厂家的利润最大．-------（9分）

点评：本题考查了利润函数模型的应用，也考查了利用导数研究函数的最值问题，是中档题．

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（1）将2011年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

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某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）t万件与年促销费用x万元（x≥a，a为一个正常数）满足 $数学公式$ ，已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定和再投入两部分资金）．
（1）将2011年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（注：利润=销售收入-总成本）
（2）该厂家2011年投入的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？

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某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．

（1）将2011年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

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（1）将2011年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（注：利润＝销售收入－总成本）

（2）该厂家2011年投入的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？

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