Question

【题目】已知函数=，；

(1)讨论的单调性;

(2)若不等式≥在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求出导函数后，按a≤0，0＜a＜，a=，a＞分类讨论，根据导数和函数的单调性的关系即可求单调区间（2）由（1）的单调性分类求f（x）的最小值，用最小值使不等式成立代替恒成立．

（1）∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣2lnx，x＞0，

∴f′（x）==，

①当a≥0时，令f′（x）＜0，得0＜x＜2；令f′（x）＞0，得x＞2；

②当a＜0时，令f′（x）=0，得x=﹣或x=2；

（Ⅰ）当﹣＞2，即﹣时，令f′（x）＜0，得0＜x＜2或x＞﹣；令f′（x）＞0，得 2＜x＜﹣；

（Ⅱ）当﹣=2时，即a=﹣时，则f′（x）＜0恒成立；

（Ⅲ）当﹣＜2时，即a＜﹣时，令f′（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞2； 令f′（x）＞0，得﹣＜x＜2；

综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增；

当﹣时，f（x）在（0，2）和（﹣，+∞）上递减，在（2，﹣）上递增；

当a=﹣时，f（x）在（0，+∞）上递减；

当a＜﹣时，f（x）在（0，﹣）和（2，+∞）上递减，在（﹣，2）上递增．

（2）由（1）得①当a≥﹣时，f（x）在（0，1）上递减，

∴f（1）=1﹣a≥，∴﹣；

②当a＜﹣时，

（Ⅰ）当﹣≤1，即a≤﹣1时，f（x）在（0，﹣）上递减，在（﹣，1）上递增，

∴f（﹣）=2﹣+2ln（﹣a）≥2﹣≥，∴a≤﹣1符合题意；

（Ⅱ）当﹣＞1，即﹣1＜a＜﹣时，f（x）在（0，1）上递增，

∴f（1）=1﹣a＞，∴﹣1＜a＜﹣符合题意；

综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]．