Question

【题目】已知.

（1）当时，求的极值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若有2个不同零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）最大值，最小值；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）求出导函数，求出的解，列表确定在正负，从而确定的单调性，得极值；

（2）根据导函数，对分类讨论：，，时，求出解，再由解的大小分类讨论得单调区间；

（3）根据（2）所得单调性，结合零点存在定理可得结论．

，

（1）当时，，令得或1

		0		1
	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

∴，

（2），

①当时，因为，所以，

令得：，令得：

所以，所以在上单调递增，在上单调递减

②当时，令得，或

1°即时，或解时，，时，

所以在，上单调递增，在上单调递增

2°即时，在R上恒成立，所以在上单调递增

3°即时，或时，

，时，

所以在，上单调递增，在上单调递增

综上所述，

当时，在上单调递增，在上单调递减

当时，在，上单调递增，在上单调递增

当时，在上单调递增

当时，在，上单调递增，在上单调递增

（3）

1°当时，，只有一个零点；

2°当时，由（2）可知

，，为减函数，，，为增函数

所以而，

所以，当时，，使，

当时，，所以，

所以

取，则，

所以，所以函数有2个零点.

3°当时，，令得，

①，即时，由（2）可得：，

∴函数至多有一个零点，不符合题意；

②时，，在单调递增，

所以至多有一个零点，不合题意

③当时，即时，，时，，.

所以，函数至多有1个零点

综上：a的取值范围是