Question

【题目】椭圆的两个焦点，，设，分别是椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为，其内切圆周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）当时，，为椭圆上的动点，且，试问：直线是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）恒过定点.

【解析】

（1）根据条件，求出b，c的值，从而求出椭圆的方程；

（2）设直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理及，求出m，可得直线恒过定点．

（1）依题意，四边形的面积为，

则，即

又四边形的内切圆周长为，记内切圆半径为，

由，得，

由得，

又，且，

故或

所以椭圆的方程为或.

（2）因为，所以椭圆的方程为，则

设，，由题意知直线斜率存在，设直线方程为

则由得，

则。

Δ，

由，可得，即

即，又，

所以

整理得

解得（舍去）或

又满足式

故直线方程为

所以直线恒过定点.