Question

【题目】已知f（x）=e2x ， g（x）=lnx+ ，对a∈R，b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为 ．

Answer 1

【答案】1+ ln2
【解析】解：∵f（x）=e2x ， g（x）=lnx+ ， ∴f﹣1（x）= lnx，g﹣1（x）= ，
令h（x）=g﹣1（x）﹣f﹣1（x）= ﹣ lnx，
则b﹣a的最小值，即为h（x）的最小值，
∵h′（x）= ﹣ ，
令h′（x）=0，解得x=
∵当x∈（0， ）时，h′（x）＜0，当x∈（ ，+∞）时，h′（x）＞0，
故当x= 时，h（x）取最小值1﹣ ln =1+ ln2，
所以答案是：1+ ln2
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．