Question

设函数（其中），区间.
（Ⅰ）定义区间的长度为，求区间的长度；
（Ⅱ）把区间的长度记作数列，令，
（1）求数列的前项和；
（2）是否存在正整数，（）,使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1);(2);.

解析试题分析：(1)掌握一元二次不等式的解法；（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的；（3）与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.
试题解析：解：（Ⅰ）由，得，解得， 
即，所以区间的长度为；           3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .                           
（1）∵
∴

                                       6分
（2）由（1）知，，，
假设存在正整数、 ，使得、、成等比数列，则 ，
即 , 经化简得.
∴     ∴ （*）
当时，（*）式可化为 ，所以. 
当时，.
又∵，∴（*）式可化为 ，所以此时无正整数解.
综上可知，存在满足条件的正整数、，此时，.      10分
考点：（1）一元二次不等式的解法；（2）裂项法求和；(3)证明存在性问题.