Question

【题目】已知函数.

（1）当时,求函数的单调区间和极值；

（2）若恒成立；求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求出导数及定义域，在定义域内解不等式得增区间，解不等式得减区间，同时可确定极值；（2）设，求出导数，研究的单调性，不等式恒成立，即的最小值非负，因此由导数求得的最小值，由于，因此当时，单调递增，不合题意（），时，，再由函数的单调性可得只有时，，从而确定．

试题解析：（1）注意到函数的定义域为,

当时,,若,则；若,则.

所以是上的减函数,是上的增函数,故,故函数的减区间为,增区间为,极小值为,无极大值.

（2）由（1）知,当时,时,是上的增函数,注意到时,,不合题意.当时,若；若.所以是上的减函数,是上的增函数,故只需.令,当时,

；当时,.所以是上的减函数,是上的增函数.

故当且仅当时等号成立. 即所求.