Question

【题目】已知圆： 过椭圆： 的短轴端点， 分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作圆的一条切线交椭圆于两点，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆过椭圆的短轴端点，线段长度的最大值为3， ， ，即可求得椭圆方程；

（Ⅱ）设直线的方程，由点到直线的距离公式，求得，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得的面积的最大值．

试题解析：(1)∵圆过椭圆的短轴端点，∴，又∵线段长度的最大值为3，∴，即，∴椭圆的标准方程为.

（2）由题意可设切线的方程为，即，则，得.①

联立得方程组，消去整理得.其中，

设，则， ，

则②

将①代入②得，∴，而，等号成立，当且仅当，即.

综上可知， .

点晴：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长.