Question

【题目】已知函数（）.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）设，当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时， 的单调增区间为，单调减区间为.

当时， 的单调增区间为，单调减区间为和，

当时， 的单调减区间为；

（2）的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）首先求得函数的定义域与导函数，然后分、、求得函数的单调区间；（2）首先结合（1）求得当时的最小值，然后利用分离参数法得，由此令，从而根据的单调性求得其最小值，进而求得的取值范围．

试题解析：（1）的定义域为，

当时，由，∴的单调增区间为

由，∴的单调减区间为，

当时，由，∴的单调增区间为，

由，∴的单调减区间为，

当时，由，∴的单调增区间为，

由和，∴的单调减区间为和.

当时， ，∴的单调减区间为，

综上所述当时， 的单调增区间为，单调减区间为.

当时， 的单调增区间为，单调减区间为和，

当时， 的单调减区间为.

（2）当时，由（1）知在， ，依题意有，

∵ 在上有解，

令，知在单调递减，在单调递增，

∴

∴，∴的取值范围为.

或用，而，对分三种情况：

① 无解；

② ；

③ .

综上：∴的取值范围为.