Question

【题目】已知函数，为的导函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在上存在最大值0，求函数在上的最大值；

（3）求证：当时，.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2） (3)见解析

【解析】分析：（1）对a分类讨论，求函数的单调区间.(2)根据函数在上存在最大值0转化得到a=1,再求函数在上的最大值.(3)先利用第2问转化得到，再证明≤0.

详解：（1）由题意可知， ，则，

当时，，∴在上单调递增；

当时，解得时，，时，

∴在上单调递增，在上单调递减

综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由（1）可知，且在处取得最大值，

，即，

观察可得当时，方程成立

令，

当时，，当时，

∴在上单调递减，在单调递增，

∴，

∴当且仅当时，，

所以，由题意可知，在上单调递减，

所以在处取得最大值

（3）由（2）可知，若，当时，，即，

可得，

令，即证

令，

∵

∴，又，∴

∴，在上单调递减，，

∴，当且仅当时等号成立

所以.