Question

一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a₁a₂a₃a₄a₅，其中A的各位数字中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为

1

3

，出现1的概率为

2

3

．记ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅（例如：A=10101，即表示a₁=a₃=a₅=1，a₂=a₄=0，而ξ=3），当仪器启动一次时，
（1）求ξ=3的概率；
（2）求ξ的概率分布列；
（3）若启动一次出现的数字为A=10101则称这次试验成功，求5次重复试验成功的次数的期望．

Answer 1

分析：（1）此题需要进行转化，不能直接套公式，由a₁=1，可知有一次的试验结果已经确定；当ξ=3时的概率，相当于在后面的4个数中出现2个1，计算可得答案；
（2）分析ξ的取值情况，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，做出变量对应的概率，并列出ξ值的分布列，
（3）由题意知变量符合二项分布，根据成功概率和实验的次数，用二项分布的期望公式得到结果．

解答：解：（1）由题意知数字出现的次数符合独立重复试验，
当ξ=3时的概率，相当于在后面的4个数中出现2个1，
p(ξ=3)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2=

24

81

（2）ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
p(ξ=1)=(

1

3

)4=

1

81

     p(ξ=2)=

C

1 4

(

1

3

)3•(

2

3

)=

8

81

     p(ξ=3)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2=

24

81

p(ξ=4)=

C

3 4

(

2

3

)3•(

1

3

)=

32

81

       p(ξ=5)=(

2

3

)4=

16

81

∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
p	1 81	8 81	24 81	32 81	16 81

（3）启动一次出现数字为A=|0|0|的概率P=(

1

3

)2(

2

3

)2=

4

81

由题意知变量符合二项分布，
根据成功概率和实验的次数的值，
有η～B(5，

4

81

)
∴η的数学期望为Eη=

20

81

．

点评：本题考查的知识点是n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，由a₁=1，将ξ=n，转化为后面的4个数中出现n-1个1是解答本题的关键．