Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，求的极大值；

（Ⅱ）若函数的极小值大于零，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极大值为；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用导数分析函数在定义域上的单调性，由此可求得函数的极大值；

（Ⅱ）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求出该函数的极小值，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

（Ⅰ）函数的定义域为，

当时，，，

令，得或.

当或时，；当时，.

函数在和上单调递增，在上单调递减．

所以函数的极大值为；

（Ⅱ）函数的定义域为，．

①当时，对任意的恒成立，

当时，；当时，.

函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的极小值为，所以不合题意．

②当时，令解得或.

（i）当时，即当时，

当或时，；当时，.

函数在和上单调递增，在上单调递减．

所以函数的极小值为，

可得，得，

结合，有，解得；

（ii）当时，对任意的，则，

函数在上单调递增，没有极值；

（iii）当时，即当时，

当或时，；当时，.

函数在和上单调递增，在上单调递减．

所以，函数的中极小值为，解得.

结合，所以．

综上所述，的取值范围是．