Question

【题目】如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（Ⅱ）取、的中点、，连接、，证明出平面以及，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值.

（Ⅰ）证明：取的中点为，连接、.

、分别为、的中点，，且，

为的中点，且.

且，四边形为平行四边形，.

平面，平面，平面；

（Ⅱ）解：设的中点为，连接，

为等边三角形 ，∴

侧面都是正方形 ，，，

、平面且，平面，

平面，，，平面.

取中点为，连接，则.

以为原点，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图.

设，则、、，

，，

设平面的法向量为，则，

令，得，

取平面的法向量为.则，

结合图形可知，二面角为锐角，其余弦值为.