Question

如图，正方形所在平面与圆所在的平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在的平面，垂足为圆上异于、的点，设正方形的边长为，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若异面直线与所成的角为，与底面所成角为，二面角所成角为，求证

 

Answer 1

【答案】

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）证明平面平面，即证明平面，转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；（2）立体几何中求空间角的方法有两种，一是常规法，找出（或作出）适合题意的角；证明找出的角符合对应角的要求；求出相关角的大小（或三角函数值）.二是用向量法，即先确定两个向量（直线的方向向量或平面的法向量）求两个向量夹角的余弦值，注意确定所求的夹角与向量夹角的关系，最后得出所求的角或角的三角函数值.

试题解析：（1）圆所在的平面，在圆所在的平面上，，

又在正方形中，，，平面，

又平面，平面平面.

（2）平面，平面，，即为圆的直径，

又，且，，

以点为坐标原点，分别以为轴、轴，以垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，

，，，，

又，，，

由此得，

设平面的一个法向量，则，即，

取，则，又平面的一个法向量为，

，，

于是，即.

考点：空间几何体的线线、线面关系，线面、面面角的求法.