Question

【题目】已知椭圆：的右焦点，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是坐标原点，若直线与椭圆相切，过作，垂足为，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由题意已知右焦点和过点,用待定系数法求出和的值，即可求出椭圆的方程．

（2）分切点为椭圆顶点和不是椭圆顶点，当切点不过椭圆顶点时，设出切线方程，联立切线方程和椭圆方程，由判别式等于0得到与的关系，再求出所在直线方程，联立两直线方程求得的坐标，由两点间的距离公式可得为定值2.

（1）解：由题意知，设椭圆的方程为，可得，解得，，

椭圆的方程为；

（2）证明：当直线过椭圆长轴两个顶点时，与顶点重合，此时；

当直线过椭圆短轴两个顶点时，可得；

当直线不过椭圆顶点时，设切线方程为，

联立，得．

由，得．

，且，

所在直线方程为，

联立，解得，

．

故为定值2．