Question

【题目】在四棱锥中， 平面， ， ， ， ， ， 是的中点， 在线段上，且满足.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】分析：该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法，用线面平行的判定定理来证明，也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平面的法向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得，第三问假设其存在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍即可.

详解：（1）证明：取的中点， 的中点，连接和，

∴且，

∴， 分别为， 的中点.

且

∴且，四边形为平行四边形，

∴， 平面， 平面，

∴平面.

（1）由题意可得， ， 两两互相垂直，如果，以为原点， ， ， 分别是， ， 轴建立空间直角坐标系，则， ， ， ，

设平面的法向量为

，

∴，令∴

又，∴，∴

平面

∴ 平面

（2）设点坐标为

则， ，

由得，∴

设平面的法向量为，

由得即令∴

则

又由图可知，该二面角为锐角

故二面角的余弦值为

（3）设， ，∴

∴

∴

∵与平面所成角的余弦值是∴其正弦值为

∴，整理得：

，解得： ， （舍）

∴存在满足条件的点， ，且