Question

【题目】在直三棱柱中， ， ， 是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析: (1)第(1)问, 连接，交于点，连结，证明即得平面 . (2)第(2)问, 以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

试题解析:

（1）连接，交于点，连结，

∵在直三棱柱中， ，

∴是正方形，∴是的中点，

∵是的中点，∴是的中位线，∴，

∵不包含于平面， 平面，

∴平面.

（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，

以过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，

∵， ， 是的中点，

∴， ， ， ，

∴， ， ，

设平面的法向量，则， ，

∴，∴，

设平面的法向量，则， ，

∴，∴，

设二面角的平面角为，

.∴二面角的余弦值为.